Théorème de Cauchy-Arzelà-Peano

Théorème de Cauchy-Arzelà-Peano :

$\Omega\subset{\Bbb R}^d$ est un Ouvert
$f:{\Bbb R}_+\times\Omega\to{\Bbb R}^d$ est continue
$u_0\in\Omega$

$$\Huge\iff$$

il existe $t_0\gt 0$ et $u\in\mathcal C^1([0,t_0],\Omega)$ telle que $$\begin{cases} u^\prime(t)=f(t,u(t))\quad \forall t\in[0,t_0]\\ u(0)=0\end{cases}$$

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un contre-exemple à l'unicité dans le théorème de Cauchy-Arzelà-Peano.
Verso:

Bonus:
Carte inversée ?:
END

Démonstration du théorème de Cauchy-Arzelà-Peano :

On prend une boule fermée autour de $u_0$ dans $\Omega$ et on note le maximum de $f(t,x)$ lorsque $t$ est $\leqslant t_1$ quelconque et $x$ est dans cette boule.

On prend $t_0$ assez petit pour que $t_0C_\infty\leqslant r$, et on note $K$ l'ensemble des fonctions où on piochera $u$, qui est inclus dans un Espace de Banach.

Pour tout $u\in K$, on pose $F_u$ la primitive obtenue via Théorème fondamental d'analyse, et on montre par majoration avec la norme $\lVert\cdot\rVert_\infty$ que $F_u$ est dans la boule, et est donc dans $K$.

En prenant un Module de continuité avec assez d'hypothèses pour $f$, on peut montrer que $F_u$ est uniformément continue.

Et puisque dériver $F_u$ selon le temps donne $f(t,u(t))$, on obtient que $F_u\in\mathcal C^1$ et que sa norme $\lVert\cdot\rVert_\infty$ est majorée par $C_\infty$.

$F(K)$ est donc une famille de fonctions $C_\infty$-lipschitz.

$F(K)$ est donc relativement compact d'après le Théorème d'Ascoli.

On conclut via le Théorème du point fixe de Schauder.

Math'φsics

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